線形代数I - yoshitake-hのブログ

$\det(AB)=\det(A)\det(B).$
証明
１．（佐武一郎，線型代数学，裳華房）

$A=(\mathbf{a}_1\;\dots\;\mathbf{a}_n),\;B=(\mathbf{b}_1\;\dots\;\mathbf{b}_n),\;\; ^t\mathbf{b}_j=(b_{1j}\;\dots\;b_{nj})$
とすると，
$\det(AB)=\det(A\mathbf{b}_1\;\dots\;A\mathbf{b}_n)$
$=\det(\sum_{k_1=1}^nb_{k_11}\mathbf{a}_{k_1}\;\dots\;\sum_{k_n=1}^nb_{k_nn}\mathbf{a}_{k_n})$
$=\sum_{k_1=1}^n\cdots\sum_{k_n=1}^n\det(\mathbf{a}_{k_1}\;\dots\;\mathbf{a}_{k_n})b_{k_11}\cdots b_{k_nn}$
$=\sum_{\sigma\in S_n}\det(\mathbf{a}_{\sigma(1)}\;\dots\;\mathbf{a}_{\sigma(n)})b_{\sigma(1)1}\cdots b_{\sigma(n)n}$
$=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\det(A)b_{\sigma(1)1}\cdots b_{\sigma(n)n}$
$=\det(A)\det(B).//$

２．（齋藤正彦，線型代数入門，東京大学出版会）

$B=(\mathbf{b}_1\;\dots\;\mathbf{b}_n)$ とすると，
$\det(AB),\;\det(A)\det(B)$ はいずれも $\mathbf{b}_1,\;\dots,\;\mathbf{b}_n$
に関する多重線型交代形式．よって
$\mathbf{b}_j=\mathbf{e}_j\;(j=1,\dots,n)$
の場合に両者が一致することをいえばよい．
$\det(A(\mathbf{e}_1\;\dots\;\mathbf{e}_n))=\det(A),$
$\det(A)\det(\mathbf{e}_1\;\dots\;\mathbf{e}_n)=\det(A)\cdot 1=\det(A).//$

３．（三宅敏恒，入門線形代数，培風館）

$B=(b_{ij})$ とする．
$\left(\begin{array}{cc}A&O\\-E&B\end{array}\right)$ の第 $n+k$ 列 $(k=1,\dots,n)$ に，
第1列の $b_{1k}$ 倍，…，第 $n$ 列の $b_{nk}$ 倍を加えると
$\left(\begin{array}{cc}A&AB\\-E&O\end{array}\right)$ になるので，
$\det\left(\begin{array}{cc}A&O\\-E&B\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{cc}A&AB\\-E&O\end{array}\right)=\det(AB).$
一方，
$\det\left(\begin{array}{cc}A&O\\-E&B\end{array}\right)=\det(A)\det(B).//$