線形代数I - yoshitake-hのブログ

教科書，三宅敏恒「入門線形代数」isbn:9784563002169 がついに生協に届く．

この本で導入されている簡約な行列という概念は，次のように定義してもよい．

行列 $A=(\mathbf{a}_1\;\cdots\;\mathbf{a}_n)$ の行の主成分（0でない成分のうち，もっとも左にあるもの）をふくむすべての列
[tex:\mathbf{a}_{i(1)},\dots,\mathbf{a}_{i(r)}\quad (i(1)<\cdots

行基本変形による行列の簡約化の一意性の証明が，この本ではあとまわしになっているが，次のように列の個数に関する帰納法で示すことができる．

$A=(\mathbf{a}_1\;\cdots\;\mathbf{a}_n)$ の簡約化を $B=(\mathbf{b}_1\;\cdots\;\mathbf{b}_n)$ とする．

$\mathbf{a}_1=0$ ならば $\mathbf{b}_1=0.$ 　 $\mathbf{a}_1\neq 0$ ならば $\mathbf{b}_1=\mathbf{e}_1.$

$(\mathbf{a}_1\;\cdots\;\mathbf{a}_{k-1})\mathbf{x}=\mathbf{a}_k$ が解をもつならば， $\mathbf{b}_k=(\mathbf{b}_1\;\cdots\;\mathbf{b}_{k-1})\mathbf{x}.$
解をもたないならば， $\mathbf{b}_k=\mathbf{e}_r.$ ただし， $(\mathbf{b}_1\;\cdots\;\mathbf{b}_{k-1})$ の 0 でない行は $r-1$ 個．

行列の rank は，次のように列の個数に関して帰納的に定義することもできる．

列ベクトル $\mathbf{b}$ に対し， $\mathbf{b}=0$ ならば $\mathrm{rank}(\mathbf{b})=0.$ 　 $\mathbf{b}\neq 0$ ならば $\mathrm{rank}(\mathbf{b})=1.$

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が解をもつならば $\mathrm{rank}(A\;\mathbf{b})=\mathrm{rank}(A).$
解をもたないならば $\mathrm{rank}(A\;\mathbf{b})=\mathrm{rank}(A)+1.$