円周率が無理数であることの証明

部分積分より，
$\int_0^\pi dx\;e^{ix}f(x)=i(f(\pi)+f(0))+i\int_0^\pi dx\;e^{ix}f'(x).$
$f(x)$ が $m$ 次多項式ならば，
$\int_0^\pi dx\;e^{ix}f(x)=\sum_{k=0}^mi^{k+1}(f^{(k)}(\pi)+f^{(k)}(0)).$
$\pi=a/b$ ( $a,b$ は自然数）とする．
$f(x)=x^n(a-bx)^n$ とおくと， $f^{(k)}(\pi),\;f^{(k)}(0)$ は $n!$ の整数倍．
したがって，
$\int_0^\pi dx\;(\sin x) f(x)$
は $n!$ の整数倍かつ正なので， $n!$ 以上．
これは $\lim_{n\to\infty}x^n(a-bx)^n/n!=0$ に矛盾．