Sylow の定理 - yoshitake-hのブログ

定義　有限群 $G$ と素数 $p$ に対し， $G$ の位数が $p^km\;(p\not\mid m)$ であるとき，位数 $p^k$ の $G$ の部分群を $G$ の $p$ -Sylow 群 という．

例　 $GL_n(\mathbb{F}_p)$ の位数 $(p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n-p^{n-1})$ は $p$ でちょうど $1+2+\cdots +(n-1)$ 回割り切れる．対角成分がすべて1である上三角行列全体のなす部分群を $U$ とすると， $U$ の位数は $p^{1+2+\cdots +(n-1)}$ なので， $U$ は $GL_n(\mathbb{F}_p)$ の $p$ -Sylow 群である．

定理　任意の有限群 $G$ と素数 $p$ に対し， $G$ の $p$ -Sylow 群が存在し，それらはたがいに共役である．

補題　有限群 $G$ の $p$ -Sylow 群 $S$ と $G$ の部分群 $H$ に対し， $G$ の元 $g$ が存在して， $H\cap gSg^{-1}$ が $H$ の $p$ -Sylow 群になる．

証明　 $H$ の $G/S$ への左作用を考えると， $G/S$ の元の個数 $m$ は $p$ で割り切れないので， $H$ の軌道で元の個数が $p$ で割り切れないものが存在する．これを $H(gS)$ とすると， $H/H\cap gSg^{-1}$ から $H(gS)$ への $H$ 同変な全単射が誘導される． $gSg^{-1}$ の部分群 $H\cap gSg^{-1}$ の位数は $p$ べきであり，また $H/H\cap gSg^{-1}$ の元の個数は $p$ で割り切れないので， $H\cap gSg^{-1}$ は $H$ の $p$ -Sylow 群である．//

定理の証明　 $G$ の位数を $n$ とすると， $G\subset GL_n(\mathbb{F}_p)$ と見なせる． $GL_n(\mathbb{F}_p)$ の $p$ -Sylow 群が存在するので，補題より $G$ の $p$ -Sylow 群が存在する．それらがたがいに共役であることも補題からただちに従う．//

鈴木通夫「群論上」岩波書店 (1977) より．isbn:4000052624