Feuerbach の定理

三角形の九点円は，内接円と傍接円に接する．

三角形の一辺 a に対し，a における傍接円と内接円に接するような直線が，3辺の延長の他にもう１つあることに着目する．
実は，この直線 a' が九点円の「化身」なのである．
辺 a 上の内接円との接点と傍接円との接点を直径とする円に関する反転を考える．
この反転は，内接円と a における傍接円をそれぞれ自分自身にうつし，九点円を直線 a' にうつす．
反転は「接する」という関係を保つので，九点円が内接円と傍接円に接することがわかる．