代数学の基本定理

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Galois 理論による証明というのもあっておもしろい．
K/\mathbb{C} を有限次拡大として，K=\mathbb{C} を示す．
K/\mathbb{R} は Galois 拡大としてよい．
その Galois 群の 2-Sylow 群による不変体を L とすると，L/\mathbb{R} は奇数次拡大．
中間値の定理より，実係数奇数次多項式は実零点をもつので，L=\mathbb{R}.
したがって，K/\mathbb{R},\;K/\mathbb{C} は2べき次拡大．
K\neq \mathbb{C} とすると，K/\mathbb{C} の Galois 群は2群なので，指数2の部分群をもち，その不変体は \mathbb{C} の2次拡大．
一方，複素係数2次方程式の複素数解は具体的に書けるので，\mathbb{C} の2次拡大は存在しない．矛盾．よって K=\mathbb{C}.
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20070709