Moore-Smith の収束

math

有向集合

定義
二項関係 \leq の定義された集合 \Lambda が 有向集合 (directed set) とは，
次の3条件がなりたつこと：
(1) \lambda \leq \lambda,
(2) \lambda \leq \mu \quad \mu \leq \nu ならば，\lambda \leq \nu,
(3) \lambda, \mu \in \Lambda に対し，\nu \in \Lambda があって \lambda\leq \nu, \quad \mu \leq \nu.

例
位相空間 X の点 a の近傍系 \mathcal{N}(a) は，包含関係 \supset に関し有向集合．

共終

定義
有向集合 \Lambda の部分集合 M が 共終 (cofinal) とは，
任意の \lambda \in \Lambda に対し \mu \in M があって，\lambda \leq \mu がなりたつこと．

  • \Lambda は共終部分集合．
  • 共終部分集合は有向集合．
  • 共終部分集合をふくむ部分集合は共終．
  • 共終でない2つの部分集合の和は共終でない．

定義
有向集合の間の写像 f:M \to \Lambda が 共終 とは，
任意の \lambda \in \Lambda に対し \mu_0 \in M があって，
任意の \mu \in M,\quad \mu_0 \leq \mu ならば \lambda \leq f(\mu) がなりたつこと．

  • 共終写像の像は共終部分集合．
  • \leq を保ち，像が共終であるような写像は共終．

ネットの収束

定義
有向集合 \Lambda から位相空間 X への写像 (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} を，
X 上の ネット (net) という．

定義
位相空間 X 上のネット (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} が a \in X に 収束する とは，
a の任意の近傍 V に対し，\lambda_0 \in \Lambda があって，
\lambda \in \Lambda, \quad \lambda_0 \leq \lambda ならば x_\lambda \in V がなりたつこと．

例
位相空間 X とその点 a に対し，
\tilde{\mathcal{N}}(a)=\{\xi=(x_\xi,V_\xi )\mid \quad x_\xi \in V_\xi,\quad V_\xi \in \mathcal{N}(a)\},
\xi \leq \eta \quad \Longleftrightarrow \quad V_\xi \supset V_\eta
とおくと，\tilde{\mathcal{N}}(a) は有向集合で，
ネット (x_\xi )_{\xi \in \tilde{\mathcal{N}}(a)} は a に収束する．

近傍

定理1
位相空間 X の点 a および部分集合 V に対し，次の2条件は同値：
(1) V は a の近傍．
(2) a に収束する任意のネット (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} に対し，\lambda_0 \in \Lambda があって，
\lambda \in \Lambda, \quad \lambda_0 \leq \lambda ならば x_\lambda \in V.

証明
(1)⇒(2) は，収束の定義より．
(2)⇒(1) を示す．
(2) をネット (x_\xi)_{\xi\in \tilde{\mathcal{N}}(a)} に適用すると，
\xi_0=(x_{\xi_0},V_{\xi_0}) があって，\xi_0\leq \xi ならば x_\xi \in V.
ゆえに V_\xi\subset V.
V_\xi は a の近傍なので，V も a の近傍．//

集積点

定義
位相空間 X の点 a がネット (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} の 集積点 とは，
a の任意の近傍 V に対し，\{\lambda \mid x_\lambda \in V\} が共終であること．

定理2
位相空間 X の点 a とネット (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} に対し，次の2条件は同値．
(1) a は (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} の集積点．
(2) 有向集合 M と共終写像 f:M\to \Lambda が存在して，(x_{f(\mu)})_{\mu \in M} が点 a に収束する．

証明：(1)⇒(2)
a を (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} の集積点とする．
M=\{(\lambda, V)\mid \quad x_{\lambda} \in V,\quad V \in \mathcal{N}(a)\},
(\lambda,V)\leq (\mu, W)\quad \Longleftrightarrow \quad \lambda \leq \mu, \quad V\supset W
とおくと，M は有向集合．

  • (\lambda_1,V_1),(\lambda_2,V_2)\in M に対し，V_3=V_1\cap V_2\in \mathcal{N}(a).
    \{\lambda\mid x_\lambda \in V_3\} は共終．
    よって \lambda_3\in \Lambda で \lambda_1\leq \lambda_3,\quad \lambda_2\leq \lambda_3,\quad x_{\lambda_3}\in V_3 となるものが存在する．

M\ni (\lambda, V)\mapsto \lambda \in \Lambda は共終．

  • \lambda_0 \in \Lambda,\quad V_1\in \mathcal{N}(a) とする．
    \{\lambda\mid x_\lambda \in V_1\} は共終なので，\lambda_1\in\Lambda,\quad \lambda_0\leq \lambda_1,\quad x_{\lambda_1}\in V_1 がとれる．
    (\lambda_1,V_1)\leq (\lambda,V) ならば，\lambda_0\leq \lambda.

(x_\lambda)_{(\lambda, V)\in M} は a に収束する．

証明：(2)⇒(1)
a の近傍 V に対し，\mu_0\in M があって，\mu \in M,\quad \mu_0\leq \mu ならば x_{f(\mu)}\in V.

任意の \lambda \in \Lambda に対し，\mu_1\in M があって，\mu \in M,\quad \mu_1\leq \mu ならば \lambda \leq f(\mu).

\mu'\in M で \mu_0\leq \mu',\quad \mu_1\leq \mu' をみたすものが取れる．
このとき，x_{f(\mu')}\in V,\quad \lambda \leq f(\mu').

したがって，\{\lambda \mid x_\lambda \in V\} は共終．
よって a は集積点．

コンパクト性

定理3
位相空間 X に対し，次の3条件は同値．
(1) X はコンパクト．
(2) X 上の任意のネットは集積点をもつ．
(3) X 上の任意のネット (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} に対し，
有向集合 M と共終写像 f:M\to \Lambda が存在して，ネット (x_{f(\mu)})_{\mu \in M} が収束する．

証明： (2)⇔(3)
定理2より．

証明： (1)⇒(2)
コンパクト空間 X のネット (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} に対し，
開集合 U で \{\lambda \mid x_\lambda \in U\} が共終でないもの全体は，X を被覆しない．

したがって，点 a があって，a をふくむ任意の開集合 U に対し，\{\lambda \mid x_\lambda \in U\} は共終．

ゆえに，a は (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} の集積点．

証明： (2)⇒(1)
\mathcal{A} を有限交叉性をもつ閉集合族とする．
\Lambda=\{\lambda=(x_\lambda,\mathcal{A}_\lambda )\mid \quad \mathcal{A}_\lambda \subset \mathcal{A} \quad \mbox{finite,}\quad x_\lambda \in \bigcap \mathcal{A}_\lambda \},
\lambda \leq \mu \quad \Longleftrightarrow \quad \mathcal{A}_\lambda \subset \mathcal{A}_\mu
とおくと，\Lambda は有向集合，(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} はネット．

(2) より，その集積点 a が存在する．
このとき，a\in \bigcap \mathcal{A}.

  • a\not\in A_0,\quad A_0\in \mathcal{A} とすると，\{\lambda\in \Lambda\mid x_\lambda \not\in A_0} は共終．
    よって (x_0,\{A_0\})\in \Lambda に対し，(x_1,\mathca{A}_1)\in \Lambda, \quad x_1\not\in A_0 があって，A_0\in \mathca{A}_1.
    これは x_1\in\bigcap \mathcal{A}_1 に反する．