阪大トポロジー・セミナーはヤマサキくん

セミナー後，コマツさんと廊下で立ち話．ササキ先生のこと，Fefferman が長年解けなかった問題をヒラチさんが解いたことなど．
ヤマサキくん，カズさんと「おためしや」「とり勝」．

カズさんは文系１年生向けの講義で，Buffon の針を題材に次のような話をしているそうだ．すばらしい．
（出典は，スタイン「数学ができる人はこう考える」白揚社 (2003) とのこと．）

平面上に間隔2で平行線が無数に引かれている．長さ1の針を平面上に落とすとき，針が平行線と交わる確率は？

普通は次のように考える．

針と平行線のなす角を とすると，針が平行線と交わる確率は
したがって，求める確率は，

しかしこれを，三角関数の積分の公式などを使わず，常識（common sense, 共通感覚）をはたらかせることで求めることができる．どう考えるのか？

• 針の長さを任意とし，針が平行線と交わる確率ではなく，針と平行線の交点数の期待値を考える．
  • 針の長さが2以下の場合は同じことである．
• 針をいくつかに分割すると，針全体と平行線の交点数の期待値は，分割した各部分と平行線の交点数の期待値の和になるだろう．（加法性）
  • したがって，針と平行線の交点数の期待値は，針の長さに比例するだろう．
  • 折れ線を投げたとする．線分に分割して考えると，折れ線と平行線の交点数の期待値は，分割した各線分と平行線の交点数の期待値の和になるだろう．
  • したがって，折れ線を投げたときの平行線との交点数の期待値は，折れ線の長さに比例するだろう．
  • 極限を考えれば，曲線を投げたときの平行線との交点数の期待値は，曲線の長さに比例するだろう．
• 半径1の円周を投げると，確率1で交点数は2である．円周の長さは
• したがって，長さ1の針を投げると，平行線との交点数の期待値は