数学要論A

3.2 選択公理とツオルンの補題．

Zorn の補題　任意の鎖（＝全順序部分集合）が上界をもつような順序集合は，極大元をもつ．

1. 証明には選択公理を用いる．
   • 逆に，Zorn の補題から選択公理を導くことができる．Zorn の補題の使い方はワンパターンで，この場合も例外ではない．
2. は順序集合で，任意の鎖が上界をもつとする．極大元が存在しないと仮定して矛盾を導く．
3. 任意の鎖 に対し，仮定および選択公理により， の上界 を選んでおく．
   
   
4. 鎖あるいは鎖の族に対し，それより大きい鎖をつくる方法として，つぎの２つがある．
   • 包含関係について全順序である鎖の族 に対し， も鎖．
   • 鎖 に対し， も鎖．
5. を の鎖全体の集合とし，その部分集合で，空集合を元とし，上の２つの操作に関して閉じているものを考える．
   すなわち， で次の3条件をみたすものを，塔とよぶ．
   • (a)
   • (b) 包含関係について全順序である の部分集合 に対し，
   • (c) ならば
6. 塔は包含関係について全順序にならない．
   もしなるとしたら，(b) より は包含関係に関する の最大元となり，(c) に矛盾する．
7. は塔．よって塔は存在する．
8. すべての塔の交わり は塔，よってこれは最小の塔になる．
9. が包含関係について全順序であることがいえれば矛盾が導かれる．
   
   
10. 
    
    とおく． が塔であることを示せば， の最小性より ．よって が全順序であることがいえる．
11. が塔であること の証明．
    (a) (b) をみたすことは容易．(c) を示す．
    に対し，
    
    とおく．
    に注意．
    
    が塔であることを示せば， の最小性より となり，
    
    ゆえに
    は (c) をみたす．
    
    
12. が塔であること の証明．
    (a) (b) をみたすことは容易．(c) を示す．
    に対し， または
    • ならば， より，
    • ならば， より， または
      • ならば
      • ならば
        ゆえに， または
        いずれの場合も //