集積点と可算コンパクト性 - yoshitake-hのブログ

T₁位相空間 $X$ に対し，次の3つの条件は同値．
これらをみたすとき， $X$ は可算コンパクトであると言う．
(1) 任意の点列は集積点をもつ
（ $a\in X$ が $\{x_n\}$ の集積点　⇔　 $a$ の任意の近傍 $V$ に対し， $x_n\in V$ となる $n$ が無限に存在する）
(2) 任意の可算開被覆は有限部分被覆をもつ
(3) 任意の可算部分集合は集積点をもつ
（ $a\in X$ が $A\subset X$ の集積点　⇔　 $a\in \overline{A-\{a\}}$ ）

証明
(1)⇒(2)
$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を可算開被覆で，有限部分被覆をもたないものとする．
$V_n=U_1\cup \cdots \cup U_n$ とおく．
可算選択公理により， $x_n\in V_n^c$ をとる．
任意の点 $a\in X$ に対し， $a\in V_k$ となる $k$ がある．
$n\geq k$ ならば $x_n\not\in V_k.$
よって $a$ は $\{x_n\}$ の集積点ではない．

(2)⇒(3)
$A$ を集積点をもたない可算部分集合とする．
$A$ は閉集合．
$a\in A$ に対し， $A-\{a\}$ の閉包の補集合を $U_a$ とすると，
$U_a$ は開集合で， $U_a\cap A=\{a\}.$
$\{U_a\mid a\in A\}\cup \{A^c\}$ は可算開被覆で，有限部分被覆をもたない．

(3)⇒(1)
$\{x_n\}$ を集積点をもたない点列とする．
$A=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ とおくと，これは可算．
任意の $a\in X$ に対し，開近傍 $U$ があって， $x_n\in U$ となる $n$ は有限個．
ゆえに $U\cap (A-\{a\})$ は有限集合． $X$ はT₁なので，これは閉集合．
よって $U-(A-\{a\})$ は $a$ を含み $A-\{a\}$ と交わらない開集合．
したがって $a\not\in \overline{A-\{a\}}.$
すなわち $a$ は $A$ の集積点ではない，//