Dirichlet の算術級数定理（３）

3. $G$

定義3.1
集合 $G$ ，写像 $G\times G\ni (x, y)\mapsto xy\in G$ ，元 $e=e_G\in G$ ，写像 $G\ni x\mapsto x^{-1}\in G$
が次の条件をみたすとき，これを群と言う．
(1) $(xy)z=x(yz)$
(2) $ex=xe=x$
(3) $xx^{-1}=x^{-1}x=e$

$e$ を単位元， $x^{-1}$ を $x$ の逆元と言う．
群 $G$ がさらに $xy=yx$ をみたすとき，Abel 群と言う．
有限集合である群を有限群と言う．
有限群 $G$ の元の個数 $|G|$ を $G$ の位数と言う．
$x^0=e$ とし，自然数 $n$ に対し， $x^n$ は $x$ を $n$ 個かけたもの， $x^{-n}=(x^{-1})^n$ とする．

例
(1) 自然数 $m$ を法とする， $m$ とたがいに素な整数の剰余類の集合は，乗法に関して有限 Abel 群をなす．単位元は1の属する類．位数は $\varphi (m).$
(2) $\mathbb{C}^\times =\mathbb{C}-\{ 0\}$ は，乗法に関して Abel 群をなす．単位元は1．

定義3.2 群 $G$ の部分集合 $H$ で
(1) $x, y\in H$ ならば $xy\in H$
(2) $e\in H$
(3) $x\in H$ ならば $x^{-1}\in H$
をみたすものを， $G$ の部分群と言う．

定義3.4
群 $G, G'$ に対し，写像 $f:G\to G'$ で
$f(xy)=f(x)f(y)$
をみたすものを準同型と言う．

命題3.5
群の準同型 $f:G\to G'$ に対し，
(1) $e_{G'}=f(e_G)$
(2) $f(x^{-1})=f(x)^{-1}.$

証明
(1) $f(e_G)=f(e_Ge_G)=f(e_G)f(e_G).$ 　両辺に左または右から $f(e_G)^{-1}$ をかける．
(2) $e_{G'}=f(e_G)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1}).$ 　両辺に左から $f(x)^{-1}$ をかける．//

定義3.6
群 $G$ の元 $x$ に対し， $x^d=e$ となる最小の自然数 $d$ を $x$ の位数と言う．
$x^d=e$ となる自然数 $d$ が存在しないとき， $x$ の位数は無限大であると言う．

命題3.7
(1) 群 $G$ の元 $x$ の位数が $d$ であるとき，
$e, x, x^2, \dots, x^{d-1}$ は相異なり，これらは部分群をなす．
(2) 群 $G$ の元 $x$ の位数が無限大であるとき，
$x^n\quad (n\in \mathbb{Z})$ は相異なり，これらは部分群をなす．