Dirichlet の算術級数定理（１）

参考文献：セール「数論講義」岩波書店

算術級数定理　たがいに素な自然数 [tex:m, a\quad (a

素数全体の集合を $P$ ， $m$ で割って $a$ 余る素数全体の集合を $P(a)$ と書くことにする．
実数 $s$ に対し，
$\sum_{p\in P}p^{-s}$
は $s>1$ のとき収束し， $s\to 1+0$ のとき発散する（命題1.5(2)）．そこで，
$\lim_{s\to 1+0}\left\{\sum_{p\in P(a)}p^{-s}\left/ \sum_{p\in P}p^{-s}\right.\right\}$
が0でない値に収束することを示せば， $P(a)$ が無限集合であることが言える．

1. $\zeta$

命題1.1
$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$
は $s>1$ で収束し， $s\to 1+0$ で発散する．

証明
$(n+1)^{-s}\leq \int_n^{n+1} t^{-s}dt\leq n^{-s}.$ $s>1$ のとき，
$\frac{1}{s-1}=\int_1^\infty t^{-s}dt=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} t^{-s}dt.$
よって結論がしたがう．//

系1.2 $\{ a_n\}$ が有界ならば，
$\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}$
は $s>1$ で絶対収束する．

命題1.3 $s>1$ のとき，
$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}=\prod_{p\in P}\sum_{k=0}^\infty p^{-ks}=\prod_{p\in P}(1-p^{-s})^{-1}.$

証明素因数分解の存在と一意性（補題2.2(3)）より．//

系1.4 素数は無限に存在する．

証明素数が有限個だとすると，命題1.2より $\lim_{s\to 1+0}\zeta (s)$ が収束し，命題1.1に反する．//

命題1.5
(1)
$\sum_{p\in P}p^{-s},\quad \sum_{p\in P(a)}p^{-s}$
は $s>1$ で収束する．
(2) $s\to 1+0$ のとき，
$\sum_{p\in P}p^{-s} \sim \log \zeta (s).$
ただし， $\sim$ は，両辺の比が1に収束することをあらわす．
特に， $\lim_{s\to 1+0}\sum_{p\in P}p^{-s}=\infty.$

証明
(1) 命題1.1 より．
(2)
$\log\zeta(s)=\sum_{p}\log (1-p^{-s})^{-1} =\sum_{p}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{kp^{ks}} =\sum_pp^{-s}+\sum_{p}\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{kp^{ks}}.$
$\sum_{p}\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{kp^{ks}} \leq\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=2}^\infty n^{-k}=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n-1)}=1.$ //