数学要論A

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Bernstein の定理の証明．
単射 f:A\to B, g:B\to A に対し，
fitration A=A_0\supset A_1\supset A_2\supset \cdots,\quad B=B_0\supset B_1\supset B_2\supset \cdots が
A_{n+1}=g(B_n),\quad B_{n+1}=f(A_n) によって定義できて，
f(A_n-A_{n+1})= B_{n+1}-B_{n+2},\quad g(B_n-B_{n+1})= A_{n+1}-A_{n+2},\quad f(\bigcap_nA_n)= \bigcap_n B_n
となるわけだが，フィルターつき複体に対するスペクトル列の議論みたいだ．

教科書（松村英之）には次の定理もあった．

定理
写像 f:X\to Y,\quad g:Y\to X に対し，
\mathbf{M}=\{Z\subset X\mid g(f(Z)^c)\subset Z^c\subset g(Y)\},\quad A=\bigcup_{Z\in\mathbf{M}}Z とおくと，
g(f(A)^c)=A^c.

証明
A\in\mathbf{M}. なぜなら，
(1) A^c\subset g(Y) の証明：
g(Y)^c\in\mathbf{M} より \mathbf{M}\neq\phi.
よって，A^c=(\bigcup Z)^c=\bigcap Z^c\subset g(Y).

(2) g(f(A)^c)\subset A^c の証明：
[tex:g(f(A)^c)=g(f(\bigcup_{Z\in\mathbf{M}}Z)^c)=g*1^c)=g(\bigcap f(Z)^c)]
\subset \bigcap g(f(Z)^c)\subset \bigcap Z^c=(\bigcup Z)^c=A^c.


一方，x\in A^c とすると，A\cup \{ x\} \not\in \mathbf{M}.
(A\cup \{ x\})^c=A^c-\{x\}\subset A^c\subset g(Y) なので，
g(f(A\cup \{ x\})^c)\not\subset (A\cup \{ x\})^c.
よって g(f(A)^c)\not\subset A^c-\{ x\}.
ゆえに，g(f(A)^c)=A^c. //

*1:\bigcup f(Z