談話会はダテさん - yoshitake-hのブログ

Faulhaber 多項式について．
$f_k(n)=1^k+2^k+\cdots +n^k$ とおくと， $k$ が奇数のとき $f_k(x)$ が，偶数のときは $\frac{f_k(x)}{2x+1}$ が $x(x+1)$ の多項式になる．証明には次の補題を用いる．

多項式 $f(x)$ に対し，
(1) $f(-x-1)=f(x)$ ならば， $f(x)$ は $x(x+1)$ の多項式．
(2) $f(-x-1)=-f(x)$ ならば， $\frac{f(x)}{2x+1}$ は $x(x+1)$ の多項式．

$F_m(\frac{1}{2}x(x+1))=f_{2m-1}(x)$ となる多項式 $F_m$ を Faulhaber 多項式という．
Faulhaber 多項式は KdV 方程式の保存量の公式に現れるということだ．
TeX の Knuth 先生の解説もある．
http://jp.arxiv.org/abs/math.CA/9207222