Spin structures on hyperelliptic curves

以下は，Mumford, Tata Lectures on Theta, II にある定理の位相的な証明．

向きづけられた曲面 M のスピン構造は，単位接ベクトル束 U の fiberwise double covering U^~ である．
M 上の向きとスピン構造を保つ involution t の U への作用は，Z/4 の U^~ への作用によって cover される．M 上の t の固定点 p に対し，ファイバー U^~_p への Z/4 作用を考える． Z/4 のどちらの生成元が正の向きの 90 度回転なのかによって，固定点集合 M^t は２つに分かれる．
例．cylinder I× S¹ のスピン構造は２つあり，境界の各連結成分に誘導されるスピン構造が null-cobordant か否かで区別される．前者を偶，後者を奇とよぼう．cylinder への向きを保つ involution で，境界の２つの連結成分を入れかえ，固定点が２つであるものを考える．

補題．２つの固定点上のファイバーへの Z/4 作用は，偶スピン構造の場合たがいに逆向き，奇の場合は同じ向きになる．

M を種数 g の閉曲面，t を hyperelliptic involution とすると，M^t は 2g+2 点からなる．これが g+1+n 点と g+1-n 点に分かれるとする．

命題．n は偶数．
証明．上の例の cylinder g+1 個の直和を Z/2 同変に M に埋めこむ．補空間に hyperelliptic involution は free に作用し，商にスピン構造が誘導される．したがって，g+1 個の cylinder 上のスピン構造のうち，奇なものは偶数個．補題より n が偶数であることがしたがう．//

系．hyperelliptic curve のスピン構造は，固定点集合を，個数の差が 4 で割り切れるような２つの集合に分ける分け方と１対１対応する．
証明．前者の集合と後者の集合はいずれも 2^2g 個の元をもつ．上の議論により，前者の集合から後者の集合への写像が定義されるが，これは全射になることがわかる．//

定理．n が 4 の倍数のとき，M のスピン構造は null-cobordant，4 の倍数でないとき，null-cobordant でない．
証明の概略．H₁(M, Z/2) 上の２次形式 Q を，M に埋めこまれた cylinder に誘導されるスピン構造の偶奇によって定義する．その Arf 不変量で M のスピン構造が null-cobordant かどうかを判定できる．一方，Q の Arf 不変量は n/2 mod. 2 に等しいことがわかる．//