Morley の定理

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20060412

ΔABC において，
∠ B , ∠C の三等分線のうち BC に近いものどうしの交点を D ,
∠ C , ∠A の三等分線のうち CA に近いものどうしの交点を E ,
∠ A , ∠B の三等分線のうち AB に近いものどうしの交点を F
とすると，ΔDEF は正三角形である．

次のような証明を考えてみた．

EF ≤ FD , DE としてよい．
このとき ∠FDE ≤ ∠DEF , ∠EFD .
よって ∠FDE ≤ 60º  (1)
また，E から CD , CA , AF に下ろした垂線の長さは相等しいので，
EF ≤ DE より ∠CDE ≤ ∠AFE  (2)
同様に，EF ≤ FD より ∠BDF ≤ ∠AEF  (3)
一方，∠A = 3α , ∠B = 3β , ∠C = 3γ とおくと，
∠FDE + ∠CDE + ∠BDF = 360º − (180º − β − γ) = 240º − α ,
60º + ∠AFE + ∠AEF = 60º + (180º − α) = 240º − α .
よって (1) (2) (3) は等号成立．
よって，∠FDE = ∠DEF = ∠EFD = 60º, DE = EF = FD ．（証明終）