Hartshorneゼミ (6) - yoshitake-hのブログ

非特異多様体，非特異曲線．

(p.32) $a_P/(b+{a_P}^2)\to m/m^2$ が同型であることの証明．
単射性： $f\in a_P$ が $m^2$ の元を代表するとすると，
$f|Y=\frac{1}{1+g}\sum g_ig'_i|Y,\qquad g,\,g_i,\,g'_i\in a_P$
と書けるので， $f+fg\in b+{a_P}^2$ ．よって $f\in b+{a_P}^2$ ．
全射性： $m$ の元は， $f,\,g\in a_P$ により， $\frac{f}{1+g}=f-\frac{fg}{1+g}$ とあらわされる．