クライン，正20面体と5次方程式，シュプリンガー・フェアラーク東京 (1997)

正20面体方程式

1. 正20面体群 $G\subset PSL_2(\mathbb{C})$ の $X=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ への自然な作用に対し， $X/G\simeq \mathbb{P}^1(\mathbb{C}).$
　 $X\to X/G$ の1点の逆像を解とする方程式を，正20面体方程式と言う．
2. $G\simeq PSL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ で， $X\to X/G$ は $\mathfrak{H}/\Gamma(5)\to \mathfrak{H}/SL_2(\mathbb{Z})$ と同型．
　ここで $\mathfrak{H}$ は上半平面， $\Gamma(5)=\mathrm{Ker}\,(SL_2(\mathbb{Z})\to SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})).$
　よって正20面体方程式は保型関数によって解ける．
3. この保型関数は，楕円曲線の周期の関数として構成される．
4. 正4面体群 $G'\simeq A_4$ は正20面体群 $G\simeq A_5$ の指数5の部分群．
　 $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\simeq X/G'\to X/G\simeq\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ は次数5．対応する5次方程式は解ける．