Grothendieck の二重二十面体 (2) - yoshitake-hのブログ

記号：集合 $X$ に対し， $X^{(n)}=\{A\mid A\subset X,\;|A|=n\}$ とおく．

1. 正二十面体/±1 とその双対

正二十面体/±1 の頂点，辺，面の集合を $V,\,E,\,F$ とする．
(1.1) $|V|=6,\;|E|=15,\;|F|=10.$
(1.2) $E=V^{(2)},\;F\subset V^{(3)}$ と見なせる．
(1.3) $(V,\,E,\,F^c)$ も正二十面体/±1 である．
(1.4) $f\in F$ ならば $f^c\in F^c.$
(1.5) $f\in F$ に対し，全単射 $s=s(F,\,f):f\to f^c$ で，
　任意の $v\in f$ に対し $(f-\{v\})\cup\{s(v)\}\in F$
となるようなものがただ1つ存在する．
(1.6) $s(F^c,\,f^c)=s(F,\,f)^{-1}.$
(1.7) $f\in F^c$ に対しては $s(F,\,f)=s(F^c,\,f)$ とおく．

2. 二重二十面体構造

6点からなる集合 $X$ に対し， $X^{(3)}$ 上の同値関係を $f\sim f,\,f^c$ で定める
6点からなる集合 $X$ に対し， $\Phi\subset X^{(3)}$ で
　 $(X,\,X^{(2)},\,\Phi)$ が正二十面体/±1 になる
ようなもの全体の集合を $I(X)$ とおく．
(2.1) $\Phi\in I(X)$ ならば $\Phi^c\in I(X).$
(2.2) $f\in X^{(3)}$ に対し，
　　 $I(X)\ni\Phi\to s(\Phi,\,f)\in\{f\to f^c\quad\mbox{bij.}\}$
　は全射で，
　　 $s(\Phi,\,f)=s(\Phi',\,f)\quad\Longleftrightarrow\quad \Phi'=\Phi,\,\Phi^c.$
(2.3) $|I(X)|=12.$
(2.4) $\Phi\in I(X)$ に対し， $\{\Phi,\,\Phi^c\}$ を $X$ 上の 二重二十面体構造 と言う．
(2.5) $X^*=\{\{\Phi,\,\Phi^c\}\mid \Phi\in I(X)\}$ とおく．
(2.6) $f\in X^{(3)}$ に対し， $\Phi\to s(\Phi,\,f)$ は全単射 $X^*\to\{f\to f^c\quad\mbox{bij.}\}$ を誘導する．
(2.7) $|X^*|=6.$
(2.8) 全単射 $X\to X^*$ を1つあたえると， $S_6$ の外部自己同型が誘導される．

3. 双対性

(3.1) $f\in X^{(3)}$ に対し，置換の偶奇により，
　　 $\{f\to f^c\quad\mbox{bij.}\}=A_f\sqcup B_f$
　と分ける．そこで $s(\Phi,\,f)$ がどちらに入るかによって，
　　 $X^*=(X^*)^A_f\sqcup(X^*)^B_f$
　と分ける．
(3.2) $X^{(3)}/\sim\ni\{f,\,f^c\}\to\{(X^*)^A_f,\,(X^*)^B_f\}\in(X^*)^{(3)}/\sim$
　は全単射．
(3.3) $f\in X^{(3)},\,x\in f$ に対し， $f-\{x\}$ の2つの元の置換を合成することにより，全単射
　　 $A_f\to B_f,\quad(X^*)^A_f\to(X^*)^B_f$
が誘導され， $X^*$ 上の二重二十面体構造 $\Psi_f(x)$ が定まる．
(3.4) $\Psi_f(x)$ は $x\in X$ のみにより， $f\in X^{(3)}$ の取り方によらない．
（ $X-\{x\}$ の置換全体は $X^{(3)}/\sim$ に推移的に作用するので，
そのうち互換が $\Psi_f(x)$ を変えないことをたしかめればよい．）
(3.5) $\Psi(x)=\Psi_f(x)$ と書くと， $\Psi:X\to (X^*)^*$ は全単射．