Grothendieck の二重二十面体

の end は 本の射影直線からなり，おのおの他の3本とまじわる．
（よって，交点は15個．）
5辺形は12個ある．（それぞれ反標準因子である．）
各5辺形に対し，残りの5本も5辺形をなす．（よって end は である．）
このような5辺形の対を「相補的」と言うことにする．

5辺形の各頂点に対し，その頂点のみが共通である5辺形がただ1つある．
この関係にある2つの5辺形を「隣接する」と言うことにする．
頂点＝5辺形，辺＝隣接，面＝直線上の3交点における隣接，
という規則で多面体をつくると，「二十面体/±1」が2つできる．
すなわち，相補的な5辺形の対の集合（6個の元からなる）に二重二十面体構造が入っている．