一松信『創作数学演義』現代数学社 (2017)

$\left( \frac{n}{n-1}\right)^{n-1} < \left( \frac{n+1}n\right)^n.$

証明

$\left( \frac{n}{n-1}\right)^{n-1} \left( \frac{n}{n+1}\right)^n <1$
すなわち
$\left( \frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n-1} \frac{n}{n+1} <1$
を言えばよい．
よって，n − 1 個の $\frac{n^2}{n^2-1}$ と1個の $\frac{n}{n+1}$ の相乗平均が1より小さいことを言えばよい．
相加平均は，
$\frac{1}n\left( (n-1)\frac{n^2}{n^2-1}+ \frac{n}{n+1}\right) =1. //$

$\left( \frac{n}{n-1}\right)^n > \left( \frac{n+1}n\right)^{n+1}.$

証明

$\left( \frac{n-1}{n}\right)^n \left( \frac{n+1}{n}\right)^{n+1} <1$
すなわち
$\left( \frac{n^2-1}{n^2}\right)^n \frac{n+1}{n} <1$
を言えばよい．
よって，n 個の $\frac{n^2-1}{n^2}$ と1個の $\frac{n+1}{n}$ の相乗平均が1より小さいことを言えばよい．
相加平均は，
$\frac{1}{n+1}\left( n\frac{n^2-1}{n^2}+ \frac{n+1}{n}\right) =1. //$