Jacobi の三重積公式 - yoshitake-hのブログ

非負整数の非増大列 $\lambda =(\lambda_j)_{j\ge 1}$ で有限項を除いて0であるものを分割という．
$|\lambda|=\sum_{j\ge 1}\lambda_j$
とおく．分割全体の集合を $P$ とする．
$m_k(\lambda)=\sharp \{ j\mid \lambda_j=k\}$ を $\lambda$ における $k$ の重複度という．
重複度により，分割は，非負整数の列で有限項を除いて0であるものと1対1に対応する．そして，
$|\lambda|=\sum_{k\ge 1}k\cdot m_k(\lambda).$
したがって，

$\prod_{k\ge 1}\frac{1}{1-q^{k} }=\sum_{\lambda\in P} q^{|\lambda|}.$

定理
$\sum_{n\in \mathbb{Z} } q^{n^2}z^n = \prod_{k\ge 1}(1-q^{2k}) (1+q^{2k-1}z) (1+q^{2k-1}z^{-1}) .$

証明
$[q^{2k-1}z^{-1}][q^{-2k+1}z]=1$ と規約すると，
$\left[ \prod_{k\ge 1}(1+[q^{2k-1}z]) (1+[q^{2k-1}z^{-1}])\right] \cdot [q^{-1}z][q^{-3}z][q^{-5}z]\cdots$
$= \sum_{\lambda\in P}\sum_{n\in \mathbb{Z} } [q^{2(n+\lambda_1)-1}z][q^{2(n+\lambda_2)-3}z][q^{2(n+\lambda_3)-5}z] \cdots$
$= \sum_{\lambda\in P}q^{2\lambda} \sum_{n\in \mathbb{Z} } [q^{2n-1}z][q^{2n-3}z][q^{2n-5}z] \cdots$
$= \left[\sum_{\lambda\in P}q^{2\lambda} \sum_{n\ge 0}\prod_{j=1}^{n}[q^{2j-1}z]\right] \cdot [q^{-1}z][q^{-3}z][q^{-5}z]\cdots$
$+ \left[\sum_{\lambda\in P}q^{2\lambda} \sum_{n< 0}\prod_{j=1}^{|n|}[q^{2j-1}z^{-1}]\right] \cdot [q^{-1}z][q^{-3}z][q^{-5}z]\cdots .$
したがって，
$\prod_{k\ge 1} (1+q^{2k-1}z) (1+q^{2k-1}z^{-1}) =\sum_{\lambda\in P}q^{2|\lambda|}\sum_{n\in \mathbb{Z} } q^{n^2}z^n$
$=\left( \prod_{k\ge 1}\frac{1}{1-q^{2k} } \right) \sum_{n\in \mathbb{Z} } q^{n^2}z^n.\quad \square$

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20100202