yoshitake-hのブログ

de Broglie 波から相対論へ

phys

de Broglie 波
$\mathrm{exp}(\frac{i}\hbar (px-Et) )$
を速度 $u$ の観測者から見る．
速度 $u$ の観測者から見た時刻・位置・エネルギー・運動量を $\tilde{t},\; \tilde{x},\; \tilde{E},\; \tilde{p}$ とし，
$(t,\,x)=(\alpha \tilde{t}+\beta\tilde{x},\;\gamma \tilde{t}+\delta \tilde{x} )$ とすると，
$px-Et =p(\gamma \tilde{t}+\delta \tilde{x})-E(\alpha \tilde{t}+\beta\tilde{x}) =(\delta p-\beta E)\tilde{x}-(\alpha E-\gamma p)\tilde{t}$
より，
$\tilde{E}=\alpha E-\gamma p,\quad \tilde{p}=\delta p-\beta E.$

Newton 力学においては，質量の自由粒子のエネルギーと運動量の間の関係式は，
- 速度 $u$ の観測者から見たエネルギーは，
  $\frac{1}{2m}(p-mu)^2=E-up+\frac{1}2 mu^2.$
- 関係式
  $E=\frac{1}{2m}p^2$
  は，アフィン変換
  $(E,\,p)\mapsto (E-up+\frac{1}2mu^2,\, p-mu)$
  に対して不変．
- 線型変換ではないので de Broglie 波の場合の変換と合わない．また，変換が質量に依存しているのも不自然である．

関係式
$E=\frac{1}{2m}p^2$
を修正して， $(E,\,p)$ 空間上の $m$ に依存しない線型変換に対して不変な形にする．

$c$ を速度の次元をもつ定数とすると，
$(mc^2 +\frac{1}{2m}p^2 )^2 =(mc^2)^2+(cp)^2 +(\frac{1}{2m}p^2)^2$
の右辺第2項が $m$ によらなくなる．
右辺第3項は $p$ が小さい場合には無視できる．

そこで，エネルギーと運動量の間の関係式を

$E^2= (mc^2)^2+(cp)^2$

に修正する．この関係式は，2次形式 $E^2-(cp)^2$ を保つ線型変換に対して不変．

Hamilton 方程式
$v=\frac{\partial E}{\partial p}$
より，
$2Ev=2c^2p.\quad \therefore \quad cp=\frac{v}c E.$
$\therefore \quad E^2= (mc^2)^2+ \frac{v^2}{c^2} E^2.$
$\therefore \quad E= mc^2\,(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}.$
$\therefore \quad p= mv\,(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}.$

光に対し， $E=h\nu,\; p=h\lambda^{-1},\;c=\lambda\nu$ より， $E=cp.$
この関係式も 2次形式 $E^2-(cp)^2$ と $E>0,\;p>0$ を保つ線型変換に対して不変．