Nambu-Goldstone boson

  • Lagrangian が Lie 群 G の作用によって不変だが真空の対称性は G の閉部分群 H に破れているような場合を考える.
  • 真空を基点として場の変数を置き換えると,Lagrangian の中に G/H に値をとる massless scalar 場が現れる.
  • 長距離の挙動を見るため massive な場をすべて経路積分すると,有効 Lagrangian は G/H に値をとる nonlinear sigma model になる.
  • G 不変性と Lorentz 不変性(ISO(3, 1) 不変性)を課した場合,有効 Lagrangian の leading term は G/H 上の G 不変 Riemann 計量によって書かれる運動項.分散関係は E ∝ p.
  • Watanabe-Murayama (2012) では,Lorentz 不変性の方の仮定を R× ISO(3) 不変性に弱めた場合を考えている.
  • このとき有効 Lagrangian は,
    • 運動項の時間成分と空間成分で G/H 上の G 不変計量を別々にとってよい.
    • R の作用の generator である timelike ベクトル場を G/H 上の G 不変 1-form で evaluate した項を加えてよい.これによって有効 Lagrangian のうちの一部の自由度に関する項が相空間の Lagrangian
      の形になり,p が Lagrange multiplier として落ち,場 q の分散関係が E ∝ p2 になる.
    • G 不変 1-form と言ったが,G 不変性は表面項を除いて,でよい.表面項は G の Lie 環の中心拡大に対応する.