Stirling の公式と中心極限定理

(1)


よって, が存在して,

そこで, に対し,

とおく.

(2)

よって, とすると は収束する.

とおく.

(3) 二項分布

の平均は 分散は
よって とおくと, の平均は 0,分散は

そこで

とおき,

と仮定すると,区分求積法により,

(4)

そこで,

とおくと, が収束するならば, も同じ値に収束する.

(5)


を用いて計算すると,

(6) したがって も収束し,


より,

(7) こうして,Stirling の公式

が得られた.